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2D-FEM-Intro : 2次元有限要素法入門

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kaoru

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正方領域における有限要素法の入門コード FEniCSによる解析を軸に基礎理論について紹介している。

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2次元有限要素法入門

本コードは有限要素法の数値解析の入門として、正方領域におけるPoisson方程式を題材に扱った。

こちらの「1)1次適合有限要素法の計算例と事前誤差評価」を原論としている。

(http://www.ces-alpha.org/hp/MSUTCourse2017/)

微分方程式を有限要素法を用いて解くことが出来るFEniCSで計算、アウトプットすることがコードの中心ではあるが、 随所で有限要素法の基本数式について述べた。数値解析の構造の理解の一助になればと思う。

扱う問題を以下に示す。
正方形領域 $$ 0 \leq x \leq 1, ~~ 0 \leq y \leq 1 $$ において以下のPoisson方程式の数値解を求める. $$ -\Delta u=f \quad \text{in} \; \Omega,\quad u=0 \quad on \; \partial \Omega $$ ここで $$ f(x,y)=2x(1-x)+2y(1-y) $$ として,有限要素解を求める.

メインは「2D-FEM-2020.ipynb」で有限要素法の計算方法について述べた。 「commonmesh.ipynb」ではメッシュの分割方法を数点紹介し、「HOWTOmakeFEM-matrix.ipynb」では近似方程式の構成方法について述べた。

参考文献

  1. 菊地文雄「有限要素法概説」サイエンス社
  2. Xuefeng Liu, Shinichi Ohishi, "VERIFIED EIGENVALUE EVALUATION FOR THE LAPLACIAN OVER POLYGONAL DOMAINS OF ARBITRARY SHAPE",2013, (http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~xfliu/pdf/120878446.pdf)
  3. 河合浩志,「有限要素法」,2015,(http://save.sys.t.u-tokyo.ac.jp/~kawai/main_fem/node1.html)

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